亲爱的读者，很多人可能对kruscal最小生成树_克鲁斯卡尔最小生成树不是很了解，所以今天我来和大家分享一些关于kruscal最小生成树_克鲁斯卡尔最小生成树的知识，希望能够帮助大家更好地了解这个话题。
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最小生成树kruskal算法
最小生成树kruskal算法如下：
假设存在联通图，图中所有的顶点 为， 表示已经加入到生成树中的顶点 ， 表示未加入到生成树中的顶点 。
一开始，随机指定一个顶点加入到 中，则，每次从 与 的顶点所构成的所有边中选取权值最小的一条边作为生成树的边，并将边在 的那个顶点加入到 中，如此下去直到 中的全部顶点都加入到 中，得到最小生成树。
所谓最小生成树，就是在一个具有N个顶点的带权连通图G中，如果存在某个子图G'，其包含了图G中的所有顶点和一部分边，且不形成回路，并且子图G'的各边权值之和最小，则称G'为图G的最小生成树。
算法的介绍如下：
算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法中的指令描述的是一个计算，当其运行时能从一个初始状态和（可能为空的）初始输入开始，经过一系列有限而清晰定义的状态，最终产生输出并停止于一个终态。一个状态到另一个状态的转移不一定是确定的。随机化算法在内的一些算法，包含了一些随机输入。
形式化算法的概念部分源自尝试解决希尔伯特提出的判定问题，并在其后尝试定义有效计算性或者有效方法中成形。
这些尝试包括库尔特·哥德尔、Jacques Herbrand和斯蒂芬·科尔·克莱尼分别于1930年、1934年和1935年提出的递归函数，阿隆佐·邱奇于1936年提出的λ演算，1936年Emil Leon Post的Formulation1和艾伦·图灵1937年提出的图灵机。
图的相关算法（二）：最小生成树算法
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于上图中的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法 ：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依照权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使得森林不产生回路，直到森林变成一棵树为止。
以图G4为例（更详细的可以参考《算法导论》p367），对Kruskal进行演示（假设，用数组R保存最小生成树结果）。
第1步 ：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步 ：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步 ：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步 ：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步 ：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步 ：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B> 。
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一用排序算法排序即可。
问题二，处理方式：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
普里姆（Prim）算法，也是求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想
对于图G而言，V是所有顶点的 ；现在，设置两个新的 U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。从所有的 uЄU ，vЄ(V-U)（V-U表示除去U的所有顶点）的边中选取权值最小的边（u，v），将顶点v加入U中，将边（u,v）加入 T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，此时 T中包含了最小生成树中的所有边。
以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。
初始状态 ：V是所有顶点的 ，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步 ：将顶点A加入到U中。
此时，U={A}。
第2步 ：将顶点B加入到U中。
上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。
第3步 ：将顶点F加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。
第4步 ：将顶点E加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。
第5步 ：将顶点D加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。
第6步 ：将顶点C加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步 ：将顶点G加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。
此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。
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