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本福特定律 课程分享3 2022-04-16
本福特定律课程分享3这是通识选修课《经济研究中的计算方法》第二讲中出现的案例。
本福特定律是一个非典型数字统计定律，它由来已久。虽未被广义的证明，却有着重要的应用。最直接的作用就是，它可以帮助侦破“数据造假”，在各个领域。
（一）本福特定律
本福特（Benford）定律，又称为第一数字定律。它是数字统计的一种内在规律，指所有自然随机变量，只要样本空间足够大，每一样本首位数字为1至9各数字的概率在一定范围内具有稳定性（见图）。即以1开首的样本占样本空间的0.3，以2开首的样本占样本空间0.17-0.19，而以9或8开首的样本始终只占0.05左右。
世界上千千万万的数据的开头数字是1到9中的任何一个数字，而且每个数字打头的概率本应该差不多，但如果你统计的数据足够多，就会惊讶地发现，打头数字是1的数据最多。
1935年，美国的一位叫做富兰克•本福特（FrankBenford,1883–1948）的工程师在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这说明头几页在平时被更多的人翻阅。再进一步研究后发现，只要数据的样本足够多，数据中以1为开头的数字出现的频率并不是1/9，而是30.1%。而以2为首的数字出现的频率是17.6%，往后出现频率依次减少，9的出现频率最低，只有4.6%。
本福特开始对其它数字进行调查，发现各种完全不相同的数据，均有这个定律的身影。比如，约三分之一的住宅号码是以1作为其首个数字的。许多几乎没有任何共通性的领域也有相同的情况：比如道琼斯指数的历史数据、个人电脑中文件储存的大小排列顺序、世界主要河流的长度、报纸头版头条的数字及其它许多事情，都是符合的。
1961年，一位美国科学家提出，本福特定律其实是数字累加造成的现象，即使没有单位的数字。比如，假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的程度上升，那么要用7年多时间，这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由2000点上升到3000点只需要4年多时间；但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。因此我们看到，以1为开头的指数数据比以其他数字打头的指数数据要高很多。
（二）本福特
本福特本来是一个美国电气工程师，也是一名物理学家，在美国通用电气公司（GE）实验室里工作多年直到退休。这位工程师在50多岁的时候，迷上了一个与数字有关的课题。课题得到的结论便是现在我们所说的“本福特定律”。
事实上，本福特定律的最早发现者并不是本福特，而是美国天文学家西蒙•纽康（SimonNewcomb，1835.3.10-1909.7.11）。纽康于1877年成为美国航海天文历编制局，并组织同行们重新计算所有主要的天文常数，繁杂的天文计算经常需要用到对数表，但那个时代没有互联网，没有阿里云，对数表被印成书本，存于图书馆。细心的纽康发现一个奇怪的现象：对数表中包含以1开头的数的那几页比其他页破烂得多，似乎表明计算所用的数值中，首位数是1的概率更高，因此他在1881年发表了一篇文章提到并分析了这个现象，但没有引起人们的注意，直到54年之后的1935年，本福特又重新发现这个现象。
说来令人奇怪，科学定律的发现有时候来自于一些毫不起眼，小得不能再小的现象，本福特的发现便是如此：以1开头的数字比较多，这也算是一个定律吗？他发现这种现象不仅仅存在于对数表中，也存在于其它多种数据中，于是，他检查了大量数据而证实了这点。
本福特对此疑问的观察要比纽康更深入一些。他开始对其它数字进行调查，发现各个完全不相同的数据，比如人口、死亡率、物理和化学常数、棒球统计表、半衰期放射性同位数、物理书中的答案、素数数字和斐波纳契数列数字中均有“第一数字定律”现象的出现。换句话说就是只要是由度量单位制获得的数据都符合这一定律。另一方面，任意获得的和受限数据通常都不符合本福特定律。比如，彩票数字、电话号码、汽油价格、日期和一组人的体重或者身高数据是比较随意的，或者是任意指定的，并不是由度量单位制获得的。
纽康发现这个定律的时间比本福特早了50多年，但很明显，后者是个更有心的人。否则就该叫做纽康定律了。
（三）本福特定律靠得住吗？
第一数字定律描述的是自然数1到9的使用频率，公式为F(d)=log[1+(1/d)]（d为自然数）。人们分析后发现，由度量单位制获得的自然累加数据都符合第一数字定律，而任意获得的和受限数据通常都不符合。但人的身高、体重数据不符合，怎么解释？虽然定律在许多方面都得到了应用，但对于这类现象，人们依旧是迷惑不解。
再有就是怎么用数学方法证明定律，至今没有满意的结果。这是最大的问题，也是这个名头很大，叫做第一数字定律的本福特定律，至今无法进入数学或者统计学教科书的原因。
此定律的证明有不止一种，但都不严格。下面这个，虽然严格，但明显加了条件。
证明如下：假设我们有一个很大的样本空间，有随机变量x₁,x₂,...,x_{n}，这里n足够大。x₁,x₂,...,x_{n}的演化规律可以用指数方程来模拟。
如果我们对于指数定律的解两边取以10为底的对数，我们就会得到lgx(t)正比于时间t的结论。
如果我们问变量x介于80-90的概率有多大，我们只需要求出x(t=80)时t的解t₁，和x(t=90)时t的解t₂.那么占总时间T的比率(t₂-t₁)/T即为x介于80-90的概率。
那么如果我们问首位数字是8的概率呢？多亏了duanx和zhuww的想法，我们只需要关心lgx的小数部分介于lg8和lg9之间的长度为多少即可。
这是由于关于10的对数lgx的整数部分决定着x是几位数（整数部分是1，说明是两位数；整数部分是2，说明是3位数……）。而lgx的小数部分则决定着x的每位数字是什么。
如果画一个lgx的小数部分关于时间t的图像，实际上就相当于把lgx的图像折叠到[lg0,lg10]区间。这样，我们就不需要关心时间T有多大，因为时间轴也被折叠了。那么首位数字为D的概率即为[lg(D+1)-lg(D)]/(lg10-lg1)=lg(D+1)-lg(D)。
注意：上面的指数方程是下面这个微分方程的解。这个方程的物理含义是单位时间内，x(t)的变化量正比于x(t)在时刻t的值，比例系数为一常数k。
现实世界中，很多演化过程都可以用上边这个方程去近似，尤其是实在演化的初期没有达到饱和状态的时候。在上，我们可以找到很多这样的例子，比如关于指数衰减，指数增长，以及化学中的速率方程的降解部分。
（四）本福特定律的应用
不管如何诠释本福德定律，它是一个客观存在，并且是有用的。由于大多数财务方面的数据，都满足本福德定律，因此，它可以用作检查财务数据是否造假。
美国华盛顿州侦破过一个当时最大的投资案，金额高达1亿美元。主谋凯文·劳伦斯及其同伙，以创办高技术含量的连锁健身俱乐部为名，向5000多个投资者筹集了大量资金。然后，他们挪用公款用作自身享乐，为他们自己买豪宅、豪华汽车、珠宝等。为了掩饰他们的不法行为，他们将资金在海外公司和银行间进行频繁转账，并且人为做假账，给投资者造成生意兴隆的错觉。所幸当时有一位会计师（DarrellDorrell）感觉不对头，他将70000多个与支票和汇款有关的数据收集起来，将这些数据首位数字发生的频率与本福德定律相比较，发现这些数据通过不了第一数字法则的检验。最后经过了3年的司法调查，终于拆穿了这个投资，2002年，劳伦斯被判20年牢狱。
2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，并传出公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。据说安然高层改动过财务数据，因而他们所公布的2001-2002年每股盈利数据不符合本福特定律。2001年12月，这个全球500强中排名第七的公司向美国承认会计造假。安然事件引起公众对会计数据造假的关注，直接导致了2002年8月《萨班斯法案》的诞生。
美国税务局也利用本福德规则来检验报税表，揪出逃税漏税行为，据说有人曾经用此定律来检验美国前总统克林顿10年内的报税数据，不过没有发现破绽。
此外，本福德定律也被用于股票市场分析、检验选举投票欺诈行为等。
很显然，本福特定律是一个打击数据造假的大杀器。当然要注意它的应用条件：
1.数据不能是规律排序的；
2.数据不能经过人为设置；
3.数据量要足够大。有人说3000以上，不知有无依据；
4.它不是永远对，这是目前的未解之谜；
5.它是否准确，也有个标准问题，因为它更接近蒙特卡洛算法。
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