数学里有没有最大的数？

在数学里，没有最大的数。

数学中的自然数是从1开始依次向上递增的，因此对于任意一个自然数n，我们总是可以找到比它更大的自然数n+1，也就是说，不存在“最大的自然数”。

同样的，实数也不存在最大值。无论我们取多大的数，总有比它更大的数。这是因为实数集合中的数是无限的、连续的，不存在“尽头”，也就不存在“最大的数”。

不过，在某些特定的数学领域，存在有限的最大值，比如离散数学中的格铃数或图的度数等。但这些最大值都有特定的上限，并不是无限大的。

在数学中还存在一些特殊的数，例如无穷大和负无穷大。但是这些数并不是实数，而是一种用来扩展实数集合的数，通常在极限理论和测度论等数学领域中应用。无穷大表示比实数集合中的任何数都要大，而负无穷大则表示比实数集合中的任何数都要小。但是需要注意的是，无穷大和负无穷大不像实数一样遵循常规的运算规则，并且在不同的数学领域中，它们的定义和使用方式也有所不同。

如果只是单纯的数字，那么答案是没有的，因为不管是多么大的一个数，都可以在这个数的基础上+1，所以真正最大的数字只有一个，就是无穷大，这个无穷大如果用数学的方式来表达的话，可以是N+1。

当然了，最大数虽然是没有的，但在正式的数学上，倒是出现过一些最大的数字，例如TREE(3)和SCG（13），这两个数字非常大，大的无法用书面的形式来表达，但这两个数的资料都比较少，这里就一笔带过，总之很大就很对了。

然后还有一个数字，叫做葛立恒数，葛立恒数曾经是正式数学上最大的数字，后来被上面这两个哥俩超过了，这里我重点说一说葛立恒数好了，葛立恒数曾经是吉尼斯世界纪录当中，最大的自然数。

这个自然数有多大呢，它大到连科学的计数法，都记不下来，如果更形象一点比喻的话，就是把宇宙中所有已知的物质变成墨水，都不够写这个数的，甚至说连这个数有多少位，都写不下来。

然后我再举个例子，宇宙当中有很多的原子，这些原子如果从宇宙诞生开始算，每诞生一个原子，我们就写一个0的话，那么今天在这些0的前面加一个1，都无法形容葛立恒数的有多大。

葛立恒数到底有多大，我想大家应该都有数了，当然了，如果你还没明白的话，可以这么进行理解，假如把葛立恒数放在一个人的脑子里，这个人的脑子，会坍塌成为一个巨大的黑洞。

不过 葛立恒数虽然非常非常的大，但我们一般也不会接触到，因为这个数字也实在是太恐怖了，就是拿现代最先进的超级计算机，例如天河二号，也无法准确的算出这个数。

不过，准数虽然算不出来，但葛立恒数的后几位数，倒是可以算出来的，葛立恒数的后几位数是262464195387，然后目前为止的话，葛立恒数的后500位数，人类知道的，那么葛立恒数虽然大，但还有比它更大的，所以根本没有一个最大的数，只有无穷大的数......

不妨证明一下没有。

假设存在一个最大的数N，比其他任何数都大。

那么，N+1是否比N大呢？

如果N+1<N，那么1<0，与自然数的基本定义矛盾；如果N+1=N，那么1=0，也与自然数的基本定义矛盾。

所以，N+1>N。这与N是最大的数的假设矛盾。

综上，数学里没有最大的数。

回答这个问题很容易，但你要想理解并不太容易，需要学习一下大数学家康托尔的超穷数理论。

“最大的数”很多人第一感都在自然数里打转，显然，没有最大的自然数。

但是，等等，数学上我们常说“所有自然数…”，所有自然数的个数，不是应该比所有自然数都大吗？对的，这就是康托尔提出的一个“特殊的数”，Ω（最后一个希腊字母），代表所有自然数的个数，也是第一个无穷大。

好了，下面进去烧脑环节，IQ<140 者慎入！

说到无穷大，没学过的人都觉得没法再比大小了。其实不是的，无穷大可以比大小，但不能用“全部>部分”的原则，举个栗子，所有正整数和集合{偶数，-1}哪个多？显然两者没有隶属关系。对此，康托尔提出了经典的“一一对应法则”。为什么这个法则好？这里不展开了，自己烧脑去。

显然，基于一一对应法则，自然数和偶数一样多，也和所有整数一样多，甚至和所有有理数一样多。不明白？自己想！想不出来的话我怀疑你 IQ<140

但是，康托尔证明了整数要比实数少！也就是说找不到整数和实数间的一一对应法则！在这里康托尔发明了一个天才的“对角线方法”，后来会在大量数学问题里用到。需要承认，在高三父亲给我讲解这个问题时我自己没找到证明，很显然，我的 IQ 远＜ 康托尔。

现在我们有了两个不一样的无穷大，自然数无穷，和实数无穷。康托尔很快发现，无穷无上限，对于任何一个无穷集合，其幂集（以其所有子集为元素构集）一定比原集合大，其证明方法依然是“对角线方法”，我记得当年高三国家集训队里考过这题。

所以至此我们已经可以回答本问题：没有最大的无穷。

但还有一个很有趣的问题：在我们最初发现的两个无穷（自然数，实数）之间，是否存在一个中间态的无穷？这是一个极其著名的数学问题，被称作连续统猜想。是1900年元旦时希尔伯特提出的23个最有价值的数学问题之首！然而更加令人震惊的是，最后哥德尔和科朗利用哥德尔定理最终证明了这个连续统问题不可解！也就是说：你既不可能证明二者之间存在另一个无穷，也不可能证明二者之间不存在一个无穷！

数字那么多，肯定有最大的吗？

我们从两个方面想吧，一就是理论上，二就是实践上。

在理论上是“无穷大”，但“无穷大”是一个概念，不是一个具体的数，这样看最大的数也可以说不存在，正如宇宙无限大一样！

在实践上看是葛立恒数，这是一个被收入于吉尼斯世界纪录之中的数，是正式数学证明中出现过最大的数。

定义函数f(n) = hyper(3,n+2,3) = 3→3→n(参看hyper运算符或康威链式箭号表示法)，使用函数幂，则葛立恒数是f64(4)。

虽然葛立恒数不可以用康威链式箭号表示法很方便地表达，但康威链式箭号表示法能为它简单地定上下界: 3→3→64→2 < 葛立恒数 < 3→3→65→2