区间套定理的内容是什么_闭区间套定理如何理解

朋友们，很多人可能对区间套定理的内容是什么和闭区间套定理如何理解不是很了解，所以今天我来和大家分享一些关于区间套定理的内容是什么和闭区间套定理如何理解的知识，希望能够帮助大家更好地了解这个话题。

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先定义什么是区间套：
设闭区间列{[an,bn]}具有如下性质：
①[an,bn]包含[an+1,bn+1],n=1,2,...;(其中的意思是[an+1,bn+1]是[an,bn]的子集)
②lim(bn-an)=0(n→∞)，
则称{[an,bn]}为闭区间套，或简称区间套。

下面是区间套定理：
若{[an,bn]}是一个区间套，则在实数R中存在唯一的点ξ，使得ξ∈[an,bn]，n=1,2,...,即an≤ξ≤bn,n=1,2,...

注：这个定理实际上表明了实数的完备性，实数是连续地充满整个数直线而没有间隙，而有理数就不具备这个性质。

闭区间套定理的理解：闭区间套定理，是实数连续性的一种描述，几何意义是，有一列闭线段(两个端点也属于此线段)，后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以О为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。

该定理反应了实数的完备性，是关于实数连续性的6个等价命题之一，因此可以由其他5个定理推导出来。但既然是关于实数连续性的定理，自然可以用实数的定义以及实数公理——戴德金定理来证明。

定律影响：

闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。

例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。作为介绍，在这里给出用闭区间套定理证明单调有界定理和拉格朗日中值定理的过程。

以上内容参考百度百科—闭区间套定理

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